cicloide: какова самая короткая дорога?

Эта статья - мой вклад во второе издание Карнавала математики, организованное Хуан Пабло.

Введение

Мир кривых - действительно интересный мир. Мы можем находиться формы многих типов, с большего количества знакомых comoun я делю на части (да, хотя многий он застанет их сегмент - кривая в математическом чувстве понятия) или часть окружности, до каких-то hipopede Eudoxo или cuadratriz.

Я чувствую этот такой пространный мир кривых мы можем находить многие с характеристиками очень интересно. cicloide, - несомненно, одна из них. Ему нужно очень любопытные свойства, которые, быть видным, сталкиваются с нашей собственной интуицией. Эта кривая будет являться главной героиней этой статьи.

Что cicloide?

Давайте начинать эту точку представляя cicloide нашей подруге:

cicloide - кривая, намеченная точкой окружности (так называемая окружность generatriz), когда эта вертится на линии (так называемая прямая директива), не скользя из-за нее.

А именно, cicloide - кривая, которая появляется в красном в следующем графике:

Ввиду окружности радио и точка той же самой, помещенная в происхождение координат, уравнения paramétricas арки cicloide, произведенного этой точкой, отправив окружность на оси:

, с

cicloide был кривой, очень изученной на протяжении истории. Уже в конце XVI века, Галилейский он изучил эту кривую, получая некие приближения на вычислениях, связанных с нею (в частности на площади, заключенной аркой cicloide). Mersenne, возможно узнав эти исследования Galileo, привлек внимание математиков этой эпохи (мы уже в XVII веке) к этой кривой. И многие были теми, которые приехали в призыв. Столько это было ожидание, созданное этой кривой, которая закончила тем, что знала себя как Эллинская геометров из-за количества споров между математиками, которые спровоцировали исследования, связанные с нею.

Случай состоит в том, что один из первых, чего они достигли оказанные на cicloide, был Roberval. Mersenne предложил ему в 1628 изучение этой кривой и несколько лет спустя, на 1634, Roberval доказал, что площадь, заключенная аркой cicloide - точно три раза площадь окружности, которая производит ее. Ниже также нашел метод, чтобы намечать касательную в cicloide любая точка той же самой (проблема, решенная также Fermat и Сносками) и реализовал вычисление, связанный с объемами революции, ассоциируемыми с cicloide.

Roberval не напечатал эти результаты в его моменте, так как он хотел охранять их в некоем секрете, чтобы использовать их как проблемы, которые нужно предлагать кандидатам на его кафедру. Из-за этого, когда Torricelli (математик, который также заинтересовался этой кривой) напечатал его растворы в некоторые из вопросов, решенных Roberval, не упоминая о нем, он думал, что говорилось о плагиате. Но исследования Torricelli развились с независимой формы до тех Roberval. В конце концов история была справедливой с двумя: Roberval был первым в том, чтобы находить растворы и Torricelli первый в том, чтобы печатать их.

Но вещь не осталась там. В 1658 Кристофер Врен предположил, что длина арки cicloide - четыре раза диаметр окружности, которая производит вышеупомянутую кривую. И многие другие они были математиками, которые посвятили ей часть его времени, между которыми находятся известные Паскаль, Huygens, Leibniz, Newton, Jakob и Йохан Берноульи …

Какие свойства у него есть?

Большой интерес, вызванный этой кривой происходит от любопытных характеристик, которыми он обладает. Помимо уже упомянутых вычислений, у cicloide есть два действительно интересных свойства, и которые, как мастер на все руки в начале статьи, в некоем способе они совершают покушение на нашу интуицию. Конкретно это его условие braquistócrona и его условие tautócrona. Мы попробуем объяснять, что значат эти два свойства.

Braquistocronía

Термин braquistócrona значит самое меньшее время. Проблема braquistócrona может формулироваться следующей формы:

Ввиду точки в плоскости и другой точке той же расположенной плоскости вертикально ниже, что (так, что ему удаваться не быть вертикально справедливым под), находить кривую, которую он объединяет и которая делает минимальной время, что медлит подвижная точка с тем, чтобы прибывать чтобы в быть подчиненным действию силы тяжести

Ситуация точек - нечто похожее:

В принципе не было бы странным думать, что эта кривая - прямая линия (сегмент в этом случае), так как в плоскости прямая представляет самую короткую дистанцию между двумя точками. Но мы не говорим о дистанциях, а времен. Ответ продолжит быть также прямой? Давайте видеть это видео, в котором появляются два cicloides и сегмент, и давайте отвечать после:

Поскольку возможно видеть шары (подвижная точка), они прибывают раньше в судьбу, когда они опускаются из-за cicloide. А именно, что в cicloide время поездки меньше, чем в сегменте. В самом деле cicloide приуменьшает это время поездки, а именно, cicloide - braquistócrona. Любознательный человек: правда?

Tautocronía

braquistocronía не единственная любопытная собственность cicloide. В самом деле у него есть одна, которая более удивительная, если он помещается. Мы могли бы формулировать ее следующего способа:

Давайте предполагать, что у нас есть cicloide, который "висит" вниз, и который мы роняем на протяжении ее два шара с различных точек. Вопрос состоит в том, что он не имеет значения с тех пор, как мы они уроним точки, так как шары прибывают одновременно в нижний предел.

Эта собственность обозначается tautocronía (что значит то же время). Мы увидим это в видео:

Чтобы заканчиваться я оставляю вам это соединение. Он мне показался интересным, потому что укалывая в каждой из клетчатых сеток, которые появляются, мы создаем cicloides и можем видеть образно два свойства, прокомментированных ранее.

Источники:

• История математика, Карл Б. Boyer.
• Cicloide в испанской Wikipedia.