Заслуживающий ученый такого имени, прежде всего математик, испытывает в его работе то же впечатление, что и артист; его удовольствие такое большое и той же природы.
Хулес Анри Поинкаре
INFINITUM. Математические встречи
Хотя много людей это не поймут, математик испытывает великолепное чувство реализовывая его работу. Как говорит Poincaré, большое удовольствие; и, как говорит Isa, subidón.
Что вы думаете?
Я оставляю вам проблему этой недели, в этом случае, связанном с годом, в котором мы находимся:
Доказывать, что для любых реальных положительных чисел проверяют, что
Удача.
Эта статья - сотрудничество, посланное из-за fede в gaussianos (арроба) gmail (точка) com.
Краткий биографический обзор Nagel 
Кристиан Еинрич вон Нагэль
Кристиан Еинрич вон Нагэль, немецкий геометр, родился 28 февраля 1803 в Штутгарте, Германии, и умерла 27 октября 1882 в также немка Ульм.В 1821 Nagel начал изучать Теологию, заканчивая его исследования в 1825. Но в течение этих четырех лет его интересы также направились в математику и физику.
Так он пошел, так что он стал преподавателем математики второстепенной в немецком городе Tübingen. Но вещь не осталась там. В 1826 Nagel присуждает докторскую степень благодаря его работе triangulis rectangulis экс-алгебраическому aequatione construendis (На треугольниках прямоугольники construibles с алгебраического уравнения). Позже, в 1830, Nagel перемещается в Ульм, где он работает в Gymnasium (школа второстепенной подготовительная для верхних исследований) этой местности.
Его главный вклад в математику вставляется в геометрии треугольника. В этой статье мы увидим, между другими вещами, две конструкции, связанные с треугольником, которые приносят его имя: точка Nagel и линия Nagel.
Введение Как дистанция baricentro в верх - двойная порция дистанции в среднюю точку противоположной стороны, homotecia с центром и разумом-1/2 преобразовывает треугольник, антисерединный или антидополнительный, в треугольнике, и этом в его серединном или дополнительном треугольнике.
applet GeoGebra-Ява не смог быть выполненным.
В геометрии треугольника его называются иногда дополнение точки в его образ в homotecia и антидополнении в его образ в homotecia
Точка, точка, его дополнение, и его антидополнение они выровнены, и расположенные так что это средняя точка и.
Если в фигуре мы размещаем точку в circuncentro, точка - circuncentro антисерединного треугольника (который является ortocentro), точка - circuncentro серединного треугольника (а именно центр круга 9 точек), и линия - линия Euler треугольника.
Взамен, если мы размещаем точку в нецентре, точка - нецентр антисерединного треугольника, точки нецентр серединного треугольника, и линия - линия, которую в Вольфрам Матворльд они приняли решение назвать немного произвольно линией Nagel, из-за тот факт, что нецентр антисерединного треугольника - точка Nagel, как мы покажем позже.
С другой стороны точка Spieker - из-за определения нецентр серединного треугольника, и предыдущих наблюдений заканчивают, что нецентр, baricentro, точка Spieker и точка Nagel выровнены, - средняя точка сегмента и.
Точка Nagel 
Мы звоним ceviana Nagel в линию, в фигуре, которая объединяет верх с точкой касания окружности exinscrita противопоставленная с верхом с противоположной стороной.
Точка, в существо пересечение касательной общей одной в окружности, вписанный и exinscrita противопоставленная в с линией, которая объединяет центры этих окружностей, это центр homotecia, который преобразовывает окружность exinscrita во вписанную окружность. Этот homotecia приносит радио в радио, параллельно в и следовательно перпендикулярно в.
Следовательно ceviana проходит по точке, диаметрально противопоставленной в кругу, вписанной в точку касания этого круга со стороной, противопоставленной в.
Поскольку мы видели в post на кругах tritangentes и следовательно, если это средняя точка.
Как также, оказывается, что параллельные линии и они.
И как homotecia, который преобразовывает треугольник в его антисерединного, преобразовывает линию в линию, которая сходит параллельной в, а именно в ceviana Nagel $AE$, оказывается, что cevianas Nagel скапливаются в точке, точка Nagel и эта точка - нецентр антисерединного треугольника.
post на кругах tritangentes мы заключаем также, что cevianas Nagel делят периметр треугольника на две равные части, а именно две части периметра треугольника, помещенных в один и другая сторона каждого ceviana Nagel, у них есть равная длина.
Точка SpiekerТочка Spieker - центр круга, записанного в серединный треугольник, или я циркулирую Spieker, и у него есть какие-то достаточно интересные свойства.
Если в фигуре это средняя точка, и мы продлеваем сторону до так что, и это средняя точка, и они параллельные и.
Camo $BE$ перпендикулярный в $AH$, и эта линия - внешний bisectriz, $A_1F$ она параллельная внутреннему bisectriz, и следовательно - bisectriz серединного треугольника.
Следовательно линии, которые объединяют среднюю точку каждой стороны с точкой Spieker, а именно bisectrices серединного треугольника, делят на две равные части периметр треугольника, как cevianas Nagel.
Если, сегменты соответственно равны сегментам, и средние точки этих равных сегментов помещены без той же дистанции прямой.
Тогда центр тяжести массы, распределенной однообразно периметром треугольника находится в линии $A_1F$. Поскольку он также находится в других bisectrices серединного треугольника, оказывается, что точка Spieker - центр тяжести периметра треугольника.
Средняя точка равноотстоящего es точек касания окружностей exinscritas противопоставленные в и со стороной, и следовательно он находится в радикальной оси этих окружностей.
Как радикальная ось перпендикулярная линии, которая объединяет центры, которые это внешний bisectriz угла в, оказывается, что радикальная ось двух окружностей exinscritas - bisectriz серединного треугольника, и следовательно точка Spieker - радикальный центр трех окружностей exinscritas, а именно касательные от точки Spieker по отношению к окружностям exinscritas имеют ту же длину.
Окружности Jenkins звука три касательные окружности внутри в окружность exinscrita и наружу в другие два.
Три окружности Jenkins отрезаются в точке Spieker, так как вложение относительно ортогонального круга в три окружности exinscritas, который центр - точка Spieker, преобразовывает стороны треугольника в окружности Jenkins.
И кроме того, если точка Spieker находится на окружности, вписанной в, три окружности Jenkins касательные в прямую, перпендикулярную линии Nagel, и в другом случае центр касательной окружности в три окружности Jenkins находится в линии Nagel, потому что эта окружность обратная вписанной окружности.
Конечно вышеупомянутая точка не, мне кажется, в И Т.Д.: Он будет новым? Согласно Geogebra его первой координаты trilineal для (6,9,13) 166.495. и он не находится на странице поисков И Т.Д.
Следующая фигура пробует иллюстрировать предыдущие свойства.
applet GeoGebra-Ява не смог быть выполненным.
Источники, использованные для биографического обзора:
В компании друзей, писатели могут обсуждать о его книгах, экономисты на состоянии экономики, адвокаты его последние тяжбы и предпринимателей его последнее получение, но математики не могут говорить о его математике абсолютно. И более глубокой является его работа, менее понятный он.
Альфред Адлер
INFINITUM. Математические встречи
Я соглашаюсь с Adler. Для математика очень сложно объяснять кому-то, кто не очень надоумился бы в деле, что является тем, что он делает. Конечно, что какие-то из вас вы находились в такой ситуации когда-нибудь. Комментарии - лучший способ считать ваш опыт.
Streaming Desperate Housewives S06E17 Chromolume #7 onlineЭта статья была продвинута, чтобы появляться на титульном листе Двинь меня. Если он тебе понравился, и ты хочешь проголосовать за это войди в это соединение и сноп click Двинь в это.
Введение 
В письме, направленном к швейцарскому физику Николас Бегелин, Euler он комментировал следующее:
Все сдержанные числа единственной формы первые в звуке или двойных порциях кузенов, где и они первые между собой. Я наблюдал, что другие сходные выражения формы пользуются той же собственностью давая букве подходящую стоимость.
Это, каждое число, которое может выражать единственной формы, как, для и относительные кузены, он первый или двойная порция кузена. В особенности, каждое нечетное число, которое может выражать единственной формы в предыдущем чувстве, - первое.
Но еще есть больше. Не только он подает выражение типа, но существует некая стоимость таких, что выражение типа выполняет ту же собственность. В эту стоимость es, в которую звонят им numeri idonei (подходящие числа или подходящие числа на испанском языке и suitable numbers или idoneal numbers на английском).
По крайней мере это было начальное определение подходящего числа. Но этот способ определять этот тип чисел представляет какие-то проблемы. Например, это подходящее число (мы это увидим ниже) и для него выполняется, что:
это единственное представление номера 9 как. Но поскольку все знаем 9, он не является первым, хотя да это сила кузена, так как. Следовательно мы были бы должны говорить, что это подходящее число, если каждое нечетное число, которое может выражать единственной формы, как он первый или усиливает кузена, но возможно быть точным немного больше, чтобы удалять эту новую возможность, это состоит, в том, чтобы число было силой первого числа (в первом соединении источников вы можете видеть какие-то из условий, что мы можем добавлять к определению, чтобы это предотвращать).
Зная немного способ работать любым Euler он может представлять, что он не остался там, что его исследования этой темы не закончились в учреждении определения этого типа чисел. Зная о его характере экзаменатор один он склоняется к тому, чтобы думать, что он попробовал погрузиться больше в дело. И имея немного информации о его достижениях не тяжело убеждаться, из которого он это сделал, и очень глубоко. Так как да, так он пошел. Euler разработал список подходящих чисел. Это следующая:
В общем количестве 65 чисел, что Euler подтвердил, что они были подходящими (в чувстве, прокомментированном ранее). В самом деле он расследовал больше: он использовал она готова, чтобы строить первые числа даже восьми чисел.
Прибывшие в эту точку самое логическое состоит в том, чтобы мы задали себе следующий вопрос: набор подходящих чисел бесконечный? Ответ - не. В 1934, математик Сарвадаман Човла доказал, что набор подходящих чисел конечный.
Зная это мы появляется другой вопрос: больше подходящих чисел есть помимо найденных Euler? К несчастью для этого вопроса все еще нет ответа, хотя да имеются данные. Конкретно известно, что как многий существует еще одно подходящее число, помимо которых они находятся в списке. И что, если вышеупомянутое подходящее число в действительности существует, должен быть больше, чем 100000000.
Большее первое число, встреченное с подходящими числамиМы комментировали прежде чем Euler, что он использовал эти числа, чтобы находить первые числа относительно grades (до восьми чисел). Самое большее первое число, которое нашел Euler с этим téctica, пошло. Чтобы доказывать, что это число восьми чисел первое, было бы нужно подтверждать, что единственный раствор уравнения
Он делает уже достаточно времени мы комментируем любопытную собственность номера 26. Конкретно это эта:
Номер 26 - единственное натуральное число, которое помещено между квадратом () и ведро ().
Как кажется, именно Fermat показал вышеупомянутый результат, но в post, где мы замечали этой характеристики 26, не встречалось никакое доказательство этого факта. Именно Juanbuffer вносил в комментарии pdf с демонстрацией того же самого (которая, если я не помню плохо, не была на испанском языке). К несчастью кажется, что уже не возможно соглашаться на вышеупомянутый документ (по крайней мере я не могу). В пользу этого мотива я начал разыскивать … и я нашел ее. Мой восхищенный Карлос Иворра - тот, кто предоставлял мне вышеупомянутое доказательство. Ну, в действительности я не знаю, его ли она, но он появляется в одной из книг в формате pdf, которые он считает доступными в его Вебе: Теория Чисел.
В этой статье вы сможете видеть эту демонстрацию.
В действительности демонстрация, которую я буду представлять вам факта того, что 26 - единственное натуральное число с упомянутой собственностью, ранее относительно элементарная. Интересное доказательства состоит в том, что он вытекает из набора натуральных чисел, чтобы показывать характеристику в. Факт основываться на набор больший, который, чтобы показывать что-то в нем, является достаточно полезным аргументом, сделанный из того, которого использовали много математиков, когда они убедились в силе вышеупомянутого аргумента.
Centrémonos в теме. Мы сделаем демонстрацию в (целых числах). Тогда изложение результата, которое должно показывать следующего:
Теорема:
Единственные целые растворы уравнения
они.
Демонстрация:
Простой беглый взгляд в уравнение говорит нам, что это не может быть четное число. Если бы снаружи у нас было это, что он также был бы парой. Противоречие находилось бы в тот факт, что прямая часть равенства была бы делимой между 8, но левая часть не была бы ни даже делимо между 4. Следовательно это должен быть нечетное число.
Мы вытекаем сейчас для углубления в кольцо. Мы считаем, что предыдущее уравнение в этом кольце его выражение может встречаться factorizada следующего способа:
Мы считаем в этом кольце следующую норму:
Просто подтверждать, что вышеупомянутая норма - multiplicativa, это состоит, в том, что она положительная для каждой составной части, отличной от нуля, что это - нуль для составной части нуль, и что норма продукта двух составных частей es продукт процедуры выражения составных частей.
Давайте предполагать сейчас, что они выполняют начальное уравнение, и давайте брать составные части и. Любая составная часть, которая была бы общим делителем их два, должна делить также в его сумму, и в его различие. Беря процедуру в этой ситуации у нас было бы следующее:
Следовательно. Единственные пары стоимости, которая выполняет это, - те следующий:
С первыми двумя возможностями мы получаем составные части и-1$, что являются единицами этого кольца. В остальных случаях мы получаем составные части и, все они с нормой пара (2 ó 4), а следовательно они не могут делить в, которая норма () нечетная.
С этим мы прибываем в следующее: и они первые между собой.
Сейчас, у нас было начальное уравнение factorizada следующей формы:
Объединяя эти два факта у нас есть, что продукт двух составных частей, которых они первые, между собой равен ведру. Это вынуждает в тот, что каждая из этих составных частей была самой собой ведро. В особенности:
Давайте развивать сейчас прямую часть вышеупомянутого равенства:
Выравнивая коэффициенты начальных и конечных выражений мы прибываем в следующее равенство:
Простой анализ стоимости и он приводит нас в тот, что единственная возможная стоимость и (давайте помнить, что и это целые числа). Для obtenemos, что и следовательно. И для obtenemos и следовательно, что является искавшим результатом.
Вы знаете какую-то другую демонстрацию этого факта? Комментарии ваши.
Ввиду титула post достаточно ясная тематика проблемы этой недели: правда? Там он идет:
Он вычисляет следующий наибольший общий делитель:
Удача.
Не возможно, что существуют числа, не имеющие интереса, итак, они были, первый их уже был бы интересным из-за этого же самого отсутствия интереса.
Мартин Гарднер
INFINITUM. Математические встречи
Интересное размышление сеньора Гарднер, который кроме того приходит в волосы, увидев интересную собственность номера 26, который я показал вам, делает пару дней.
Эта статья - мой вклад во второе издание Карнавала математики, организованное Хуан Пабло.
ВведениеМир кривых - действительно интересный мир. Мы можем находиться формы многих типов, с большего количества знакомых comoun я делю на части (да, хотя многий он застанет их сегмент - кривая в математическом чувстве понятия) или часть окружности, до каких-то hipopede Eudoxo или cuadratriz.
Я чувствую этот такой пространный мир кривых мы можем находить многие с характеристиками очень интересно. cicloide, - несомненно, одна из них. Ему нужно очень любопытные свойства, которые, быть видным, сталкиваются с нашей собственной интуицией. Эта кривая будет являться главной героиней этой статьи.
Что cicloide?
Давайте начинать эту точку представляя cicloide нашей подруге:
cicloide - кривая, намеченная точкой окружности (так называемая окружность generatriz), когда эта вертится на линии (так называемая прямая директива), не скользя из-за нее.
А именно, cicloide - кривая, которая появляется в красном в следующем графике:
Ввиду окружности радио и точка той же самой, помещенная в происхождение координат, уравнения paramétricas арки cicloide, произведенного этой точкой, отправив окружность на оси:
, с
cicloide был кривой, очень изученной на протяжении истории. Уже в конце XVI века, Галилейский он изучил эту кривую, получая некие приближения на вычислениях, связанных с нею (в частности на площади, заключенной аркой cicloide). Mersenne, возможно узнав эти исследования Galileo, привлек внимание математиков этой эпохи (мы уже в XVII веке) к этой кривой. И многие были теми, которые приехали в призыв. Столько это было ожидание, созданное этой кривой, которая закончила тем, что знала себя как Эллинская геометров из-за количества споров между математиками, которые спровоцировали исследования, связанные с нею.
Случай состоит в том, что один из первых, чего они достигли оказанные на cicloide, был Roberval. Mersenne предложил ему в 1628 изучение этой кривой и несколько лет спустя, на 1634, Roberval доказал, что площадь, заключенная аркой cicloide - точно три раза площадь окружности, которая производит ее. Ниже также нашел метод, чтобы намечать касательную в cicloide любая точка той же самой (проблема, решенная также Fermat и Сносками) и реализовал вычисление, связанный с объемами революции, ассоциируемыми с cicloide.
Roberval не напечатал эти результаты в его моменте, так как он хотел охранять их в некоем секрете, чтобы использовать их как проблемы, которые нужно предлагать кандидатам на его кафедру. Из-за этого, когда Torricelli (математик, который также заинтересовался этой кривой) напечатал его растворы в некоторые из вопросов, решенных Roberval, не упоминая о нем, он думал, что говорилось о плагиате. Но исследования Torricelli развились с независимой формы до тех Roberval. В конце концов история была справедливой с двумя: Roberval был первым в том, чтобы находить растворы и Torricelli первый в том, чтобы печатать их.
Но вещь не осталась там. В 1658 Кристофер Врен предположил, что длина арки cicloide - четыре раза диаметр окружности, которая производит вышеупомянутую кривую. И многие другие они были математиками, которые посвятили ей часть его времени, между которыми находятся известные Паскаль, Huygens, Leibniz, Newton, Jakob и Йохан Берноульи …
Какие свойства у него есть?Большой интерес, вызванный этой кривой происходит от любопытных характеристик, которыми он обладает. Помимо уже упомянутых вычислений, у cicloide есть два действительно интересных свойства, и которые, как мастер на все руки в начале статьи, в некоем способе они совершают покушение на нашу интуицию. Конкретно это его условие braquistócrona и его условие tautócrona. Мы попробуем объяснять, что значат эти два свойства.
Braquistocronía
Термин braquistócrona значит самое меньшее время. Проблема braquistócrona может формулироваться следующей формы:
Ввиду точки в плоскости и другой точке той же расположенной плоскости вертикально ниже, что (так, что ему удаваться не быть вертикально справедливым под), находить кривую, которую он объединяет и которая делает минимальной время, что медлит подвижная точка с тем, чтобы прибывать чтобы в быть подчиненным действию силы тяжести
Ситуация точек - нечто похожее:
В принципе не было бы странным думать, что эта кривая - прямая линия (сегмент в этом случае), так как в плоскости прямая представляет самую короткую дистанцию между двумя точками. Но мы не говорим о дистанциях, а времен. Ответ продолжит быть также прямой? Давайте видеть это видео, в котором появляются два cicloides и сегмент, и давайте отвечать после:
Поскольку возможно видеть шары (подвижная точка), они прибывают раньше в судьбу, когда они опускаются из-за cicloide. А именно, что в cicloide время поездки меньше, чем в сегменте. В самом деле cicloide приуменьшает это время поездки, а именно, cicloide - braquistócrona. Любознательный человек: правда?
Tautocronía
braquistocronía не единственная любопытная собственность cicloide. В самом деле у него есть одна, которая более удивительная, если он помещается. Мы могли бы формулировать ее следующего способа:
Давайте предполагать, что у нас есть cicloide, который "висит" вниз, и который мы роняем на протяжении ее два шара с различных точек. Вопрос состоит в том, что он не имеет значения с тех пор, как мы они уроним точки, так как шары прибывают одновременно в нижний предел.
Эта собственность обозначается tautocronía (что значит то же время). Мы увидим это в видео:
Чтобы заканчиваться я оставляю вам это соединение. Он мне показался интересным, потому что укалывая в каждой из клетчатых сеток, которые появляются, мы создаем cicloides и можем видеть образно два свойства, прокомментированных ранее.
Источники:
Ах, я признаю льва из-за его лапы.
(Относясь к Newton).
Йохан Берноульи
INFINITUM. Математические встречи
Как мы комментируем в другой день в post на cicloide, эта кривая дала место во многие истории и споры между математиком. Фраза этого post была концом одной из них.
В 1696 Йохан Берноульи выдвинул в членов Ройаль Сосьети две проблемы (наконец связанные с cicloide). Он они считал таким сложным, что он дал срок шести месяцев для предъявления растворов и предложил, как я награждаю ценную книгу его личной коллекции в того, кто решал две проблемы. По истечении этих шести месяцев только Leibniz решил первого их. Ввиду результатов Bernoulli он дал другие шесть месяцев срока …, но все продолжило быть равным: никакой новый раствор первого ни никакой раствор для второго.
Вскоре после этого Leibniz предложил ему заставлять прибывать к Newton эти проблемы. Этот уже переместил его лучший момент и из-за этого, как он кажется, Bernoulli увидел в этом отправлении способ высмеивать его (Bernoulli был привержен Leibniz в споре на изобретении вычисления).
Случай состоит в том, что проблемы прибыли в руки Newton однажды вечером …, и на рассвете того же дня уже он решил их. На следующее утро он послал его растворы Ройаль Сосьети, но не идентифицируясь. Bernoulli только нуждался в том, чтобы бросить им быстрый взгляд, чтобы признавать льва как автор тех же самых.
Несколько десятичных Pi
Поскольку вы узнаете многих из вас сегодня, 14 марта, это день Pi., если кто-то не знает, почему, разум состоит в том, что в англосаксонском мире даты он пишет себе формы В Месяце / дне / в год., Таким образом, сегодняшний день был бы 3/14.Каждый год я пишу что-то связанное с Pi в этот день. И этот год не будет быть меньше. Мы отпразднуем день Pi бесконечной формы.
Бесконечной формы?Мы отпразднуем этот день Pi бесконечной формы показывая различные суммы и бесконечные продукты, где появляется это чудесное число. Мы идем с ними:
И для выразителя 6 эта:
В ней числители частей - первые числа исключая 3 и знаменатели приносят сумму, когда первое число - формы и вычитания, когда он имеет форму.
Здесь появляются как знаменатели нечетные числа и чередуются знаки + и - между частями.
И в этом выражении они появляются в знаменателях квадратов всех нечетных чисел, которые не являются кратными 3.
Я рекомендую соединение MathWorld, которое появляется в конце статьи, чтобы видеть другие выражения этого стиля, первооткрывателем которого был Ramanujan.
Это следующая:
Я оставил себе очень много выражений, главный герой которого - Pi. Если вы знаете какую-то, которая не появлялась бы в этой статье, и думаете, что это важно, или интересный не сомневайтесь в том, чтобы писать ее в комментариях.
Другие дни Pi в Gaussianos:
Источники:
